新知丨鲸鱼几何与蚂蚁几何

你知道在鲸鱼或者蚂蚁的世界里，它们的直线是什么样子的吗？千万别以为这个问题听起来挺无厘头的，但实际上它和我们人类的几何学密切相关。有一本书叫《无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事》，作者是普林斯顿大学数学博士、科普作家达纳-麦肯齐，在书里他给我们讲了在鲸鱼和蚂蚁眼里，直线是什么样的。

要知道这个问题，首先得了解“欧式几何”是什么。两千多年前啊，有一个古希腊数学家，叫欧几里得，他写下了几条公理。在这几条公理的基础上，欧几里得用纯逻辑推理的办法，由简单到复杂地证明了一系列命题，发展出一套体系，我们把它叫“欧氏几何”，它被奉为人类理性推理的典范。

但是，后来有人就发现，欧几里得写的那几条公理里头，有一条叫“平行假定”，咱们初中都学过，“通过直线外一点，有且仅有一条平行线”。好多数学家觉得这条不像其他那几条那样无懈可击。

后来在19世纪上半叶，有三位数学家，分别大胆地开了个脑洞，那就是，假如说平行假定不成立的话，是不是也能独立地发展出一套全新的几何体系？这套体系和欧式几何一样，也是自洽的？

这想法太离经叛道，但显然数学家们从来不怕这个。这其中以高斯、波尔约和罗巴切夫斯基为代表，试图否定平行假定这条公理，这个过程中就诞生了“非欧几何”，也就是“非欧几里得几何”的意思。

后来非欧几何的大部分功绩归给了罗巴切夫斯基，因为他发明了罗巴切夫斯基几何，现在的西方数学家也叫它“双曲线几何”。

啥叫双曲线几何？如果你是头鲸鱼，那在你的世界里的就是双曲线几何。为什么这么说？假定你现在就是头鲸鱼，在海洋深处，因为水里很暗，所以光线没啥用。你要靠声音和外界交流。在你的世界里，两点之间的最短距离就是声波走过的路径。对你来说，这就相当于一条直线。

但声音在海里的传播速度并不是处处相等的。在某个深度范围，声速跟它和水面的距离成正比，也就是说，深度越深，声速就越快。如果这个时候你要跟你的朋友说句话——当然啦，他现在和你一样，也是头鲸鱼，那最省时间的办法就是，声波先向下，去水深的地方，因为那儿声速比较快嘛，然后再向上传给你朋友。科学家告诉我们，更准确地说，声波走过的路就是一圈圈圆弧，圆心在海洋表面。这个圆弧对人类来说是“圆”的，但对鲸鱼来说，却是直线。

鲸鱼的几何里还有很多神奇的事儿，比如说三角形内角和小于180度、没有长方形、五边形的角都可以是直角。最重要的是，在鲸鱼几何里，曲率是负的。这也就是说，最初平行的两条直线之间，距离会越来越大。

那蚂蚁眼里的几何是什么呢？是一种叫球面几何的东西，也算是非欧几何。你可以把自己想象成一只生活在小行星上的蚂蚁，你想去哪都行。但完全没有空间的概念，也没有地下的概念，你知道的一切就是这个球的表面。在你的世界，曲率是正的、三角形内角和大于180度、长方形不存在，还能画出有三个直角的三角形，而最初平行的两条直线之间，距离会越来越小，而且最终会相交，恰好和鲸鱼的几何相反。

现在我们知道了，世界上不是只有我们平时经常能摸到、看到的欧式几何，还存在着其他形形色色的几何体系，曲率是区别它们的标准。就像上面提到的，蚂蚁几何、欧式几何、再到鲸鱼几何，但故事还没完，这三种不过是曲率不变的几何。我们还可以继续想象那些曲率随着地点改变的几何，他们可以是二维、三维甚至更高维的。高斯是第一个理解二维空间里曲率变化的数学家，而他的学生黎曼后来把这个概念推广到了更高维。

你可能会问了，那个时候就研究出这些抽象的数学理论有啥用呢？如果你穿越时空回去问高斯或者黎曼，他俩的答案肯定也是——不知道。但60年以后，爱因斯坦的广义相对论发表，这个理论假设，我们的四维时空曲率处处不同。

如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼“离经叛道”、敢于打破完美理论的勇气，爱因斯坦可能就没办法写下他理论中的方程。

本文源自：《无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事》，作者达纳•麦肯齐
音频稿：星光
讲述：郑磊